谈谈什么是“熵”

熵（Entropy）在物理学中用于度量一个热力学系统的无序或混乱程度（参考热力学第二定律），当它被引入到信息论（计算机科学）时，则被用来衡量信息的不确定性（不可预测性），简单的说也就是“随机性”。

假设有一枚“理想”的硬币（抛出正面和反面的几率相等），每一次抛硬币都是独立的、不可预测的，其结果不是正面、就是反面（0和1），那么这个抛硬币事件的熵就是1个比特/位，抛256次的熵就是256个比特/位（这甚至都可以用来作为“理想”的比特币私钥）。

如果不去考虑复杂的定义、恼人的公式，“熵”其实就是那么简单，本文不想从学术上更深入的讨论熵，只想阐述一个对于密码学来说很重要的定律：任何算法（包括那些符合密码学规范的伪随机数算法）只能是“维持”熵、甚至有可能会“降低”熵，但一定不能“增加”熵！

这一点至关重要，历史上发生过的无数次随机数问题（无论是否与比特币相关），基本上都源于对这一点的忽视。

以前段时间发生的 blockchain.info 的随机数问题为例，blockchain.info使用的 RC4 算法（http://en.wikipedia.org/wiki/RC4 因版权问题通常也被称为ARC4）是一个广泛使用的密码学算法，通常被用来生成伪随机数的信息流。ARC4算法有一个非常“好”的特性，即：只需要一个种子（哪怕这个种子只有两位，0和1），就能生成“无限多”的随机数，你只需要反复的对结果进行 ARC4 运算即可。

比如说，使用0或者1初始化 ARC4 数组，然后反复的进行 ARC4 运算，您都可以得到任意长度的数列，数列中的每一个元素都是0-255（8位）的数字，出于篇幅限制，小太在这里只运行了256次的 ARC4next 方法。0 : [222,24,137,65,163,55,93,58,138,6,30,103,87,110,146,109,199,26,127,163,240,204,235,151,69,43,77,50,39,150,95,158,168,204,117,7,109,159,185,197,65,122,165,203,48,252,34,25,139,52,152,45,187,98,158,192,75,79,139,5,160,113,8,80,146,160,195,88,74,72,228,163,10,57,123,138,205,29,0,158,200,125,104,17,242,44,244,156,163,229,147,84,185,69,21,53,162,24,122,134,66,108,202,125,94,130,62,186,0,68,18,103,18,87,184,216,96,174,76,189,76,73,6,187,197,53,239,225,88,127,8,219,51,149,92,219,203,173,155,16,245,63,196,229,44,89,21,101,81,132,135,254,8,77,14,63,3,222,188,201,218,28,233,13,8,92,45,138,25,216,55,48,134,22,54,146,20,43,216,252,93,122,115,73,106,142,89,238,126,207,107,148,6,99,244,166,190,230,91,210,200,92,70,152,108,27,239,52,144,211,123,56,218,133,211,46,151,57,203,35,74,43,231,64,235,8,137,54,33,153,175,204,50,131,85,153,13,79,137,251,99,195,228,81,116,172,100,77,71,2,71,63,151,209,157,98]1 : [6,8,14,14,24,32,41,41,57,51,73,87,102,118,135,131,161,181,202,224,247,102,17,124,76,104,133,163,194,226,163,73,108,38,57,127,166,206,23,65,224,71,165,211,186,87,52,103,128,180,137,239,127,183,151,209,60,44,48,147,210,142,207,149,216,104,173,167,238,239,94,230,67,143,76,236,63,143,154,197,12,17,10,119,104,46,106,197,42,3,171,116,97,215,94,138,225,97,198,118,100,125,26,61,58,230,88,198,0,112,124,71,207,55,97,128,47,75,153,130,158,95,117,7,105,226,176,130,239,90,49,125,20,247,71,95,234,13,154,98,178,210,63,236,243,36,147,202,101,88,53,9,222,9,250,163,15,184,130,181,167,249,231,37,187,125,231,174,239,43,92,255,255,154,201,48,177,206,22,183,105,92,9,8,94,51,211,200,121,189,64,9,97,248,174,13,201,173,209,196,15,129,227,3,127,184,41,69,165,199,122,90,33,63,21,160,164,205,37,93,222,211,137,199,18,135,107,7,83,10,230,113,108,41,195,34,181,63,68,164,52,214,97,63,178,22,55,192,80,153,210,224,91,240,104,165]

这个数列中的任意一段（32个元素即256位），都可以被用来作为比特币私钥或签名时使用的 k 值，他们看起来都很“随机”。可惜，无论您进行了怎样的运算，这个数列的熵都永远小于等于1个比特（即0和1）。也就是说，其它人，如果能覆盖全部的熵，进行相同的运算，也能够计算出您的全部私钥和全部 k 值。

blockchain.info 出问题时的熵是8个比特（0-255），也就是说，您只需要使用这256个数字作为种子，反复的进行 ARC4 运算，就能覆盖出问题的时间段里 blockchain.info 用户所使用的全部随机数（考虑到浏览器缓存和 CDN 缓存，问题时间段的长度可能是数周）。当然，您还可以基于代码进行一些优化，只考虑部分可能出现的情况，比如说每进行33次 ARC4next 生成一个随机数，或者是间隔256次 ARCnext 后再用33次 ARCnext 来生成一个随机数。

例如，上述种子0所对应的数组中，我们可以进行如下简单的计算：1、取开头的33个元素：[222,24,137,65,163,55,93,58,138,6,30,103,87,110,146,109,199,26,127,163,240,204,235,151,69,43,77,50,39,150,95,158,168]；2、按照 blockchain.info 的算法（他们自己定义的 BigInteger 类型），将第一个元素替换为0，最后一个元素加1，即得到结果数组：[0,24,137,65,163,55,93,58,138,6,30,103,87,110,146,109,199,26,127,163,240,204,235,151,69,43,77,50,39,150,95,158,169]；3、使用这个结果数组可以得到一个 k 值：188941a3375d3a8a061e67576e926dc71a7fa3f0cceb97452b4d3227965f9ea9；4、再使用 ECDSA 算法计算出该 k 值所对应的 r 值：0dcc0b9a668d4b7b8cbde71288bf32bb659bd7fda1b66172ce97fda6f8b0a06e；5、这个 r 值在整个区块链的交易签名中一共出现过5次，这5笔交易所对应的私钥均已暴漏；6、比如说，地址：19hXXVpwhmu1frqKwF1VZdNfqtGrMvg87n，交易 hash：b2b63f29c379ff830f45a5165b0e374093207ddca3e737562617c1d526ef4c65，该笔交易签名就是这个 r 值，利用区块链上的数据，任何人都能够很容易的计算出该地址的私钥：5JHyRh8hwyjWjt3RR3B9X6oJt9mzJZwFe8YnF7W22XcSHdD6rxK；7、BOOM!

看到这里，您就该明白了，对于比特币所需要的随机数来说，仅仅使用密码学安全的伪随机数算法还是不够的，您需要的是“好的”、“足够”的熵（比特币需要的是256个比特/位），无论您使用的是哪种算法，永远要保证熵的品质，永远都不要降低熵。最后说一句，比特币本身是安全的，不安全的是错误的解决方案和有问题的熵！

注：小太之前在 github 上开源的分析程序（https://github.com/bither/analyze）中就有完整的 ARC4 算法的实现，有兴趣的不妨自己动手试试，您也能算出很多已经被“碰撞”到的随机数哈。

作者：比太钱包官方微博：@比太钱包 http://weibo.com/bither官网：http://bither.net